Simpson (no Homer, el otro)

Dear lazyweb:
Mi ignorancia matemática está en franca caída. Y no es el momento para llegar a esta conclusión, siendo que queda una semana para el final de Modelos Numéricos. Se que hay gente aficionada a las matemáticas que lee este blog así que aquí está el cuestionamiento en cuestión.

El tema, integración numérica. El método, Simpson. La afirmación que produce la duda:

la regla proporciona resultados exactos para funciones cuya derivada cuarta sea cero; por ejemplo polinomios de grado menor e igual a 3

¿Cómo puede ser que si Simpson interpola con una parábola (polinomio de grado dos) se ajuste perfectamente a un polinomio de grado 3?

Entiendo la explicación algebraica del error pero gráficamente no me cierra:

Los comentarios serán agradecidos.

6 thoughts on “Simpson (no Homer, el otro)”

  1. Para mi, segun lo que vi, si aproximas con parabolas, segun que tipo de f sea, es mas exacto que aproximar con rectas, como el met de los trapecios
    y si la f es de grado 3 o menor, el resulatdo es exacto , eso es lo que vos decis, y es asi. Es porque las derivadas son continuas, y si la derivada 4 es sufucientemente cte, las derivadas siguientes se desprecian, hay toda una demostracion.
    ese grafico que tenes, no es muy feliz, mirate este, es una animacion de como se va aproximando la funcion al tomar cada vez parábolas más angostas
    http://mathews.ecs.fullerton.edu/a2001/Animations/Quadrature/Simpson/Simpsonaa.html
    no se si te dije algo que no sabias... ;-)
    pero la animacion vale la pena
    saludos,ale

  2. Muy linda la animación, verdá que se ve simpática :P

    Entiendo que las parabolas ajusten mejor que las rectas (de última, la parábola dejenera en recta e iguala su exactitud).

    Incluso entiendo algebraicamente que las 4 derivadas en 0 hacen 0 al error.

    El problema es la interpretación gráfica. Yo me imagino una curva polinómica de grado 3, y no puedo entender como una parábola de grado 2 va a ajustarse de manera perfecta a eso.

  3. No tiene nada que ver con la regla de simpson. Si la función f(x) que has mostrado en la gráfica fuera un polinomio de tercer grado el área por encima de la parábola (desde m hasta b) sería la misma que el area por debajo en el intervalo (a,m). Al integrar esta diferencias de áreas se anularían por tener diferentes signos. En la gráfica f(x) es una función cualquiera que aproximas por la parábola y no la representación de un polinomio tercer grado tal vez por eso te confundas.
    Si la intución geométrica no me falla, podrás demostrarlo analíticamente integrando (con lápiz y papel, no numéricamente ;-)). Define la parábola que pasa por (a,0) y (b,0) con b>a (para simplificar ponemos una puntos bonitos que pasan por la recta y=cero). Obviamente será y1=(x-a)·(x-b). Define el polinomio de tercer grado que pasa por (a,0),(b,0) y el punto medio m=( m,y1(m) )=( (a+b)/2 , (1/4)·(-a+b)·(a-b) ). Este polinomio de tercer grado será y2=(x-a)·(x-b)·( x/m - 1+ y1(m)).
    Ahora integra analíticamente y3=y1-y2. Una vez expandido todos los términos podrás comprobar que el resultado es el mismo en (a,m) que (m,b) pero con signo contrario. El quiz de la cuestion es que m no es cualquiera sino el punto medio de (a,b).

    Puff, estaba aburrido y necesitaba darle al coco...

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