disección perfecta de polígonos for dummies

Por razones que explicaré en una próxima entrada de este mismo blog, últimamente he estado divagando alrededor del concepto de la disección perfecta de polígonos. Y es este divague el que me gustaría compartir con ustedes en este (demasiado) extenso post.

Empezando por el principio, ¿qué es un polígono? En términos wikipediables:

un polígono es una figura geométrica formada por segmentos consecutivos no alineados, llamados lados.

Nos gusta que los segmentos no estén alineados, porque así forman ángulos, que es parte de la definición etimológica. Por otro lado, el hecho de que los segmentos sean consecutivos, garantiza que la figura quede cerrada. En particular, nos vamos a centrar en polígonos que sean:

  • planos. Es decir, bidimensionales, de lo que se pueden dibujar en un papel.
  • simples. Es decir, que sus lados no se corten entre sí.
  • convexos. Es decir, si al atravesarlo con cualquier recta lo corta en no más de dos puntos.
  • con hasta un máximo de 4 lados. Es decir, triángulos y cuadriláteros

En definitiva, vamos a referirnos a figuras sencillas donde algunas regularidades nos sean agradables, como el hecho de que los lados sean del mismo tamaño o que tenga algunos ángulos iguales.

Una vez acotado el universo de polígonos vayamos a la siguiente parte del asunto: la disección. Esta idea es bastante intuitiva. El objetivo es tomar un polígono y subdividirlo en otros. A estos otros los vamos a llamar elementos, dado que forman y son parte del polígono grande inicial. La cantidad de elementos es el orden de la disección. Un factor interesante que vamos a agregar a esta definición informal es que los elementos solo pueden variar en su proporción u orientación, por ejemplo que sean todos cuadrados o todos triángulos rectángulos, pero no mezclados.

Vamos a por un ejemplo inicial sencillo. Si tomamos un cuadrado, podemos dividirlo en cuatro triángulos isósceles rectángulos del mismo tamaño, como en la figura de la derecha . Así tenemos un polígono interesante (el cuadrado) que puede ser dividido en cuatro polígonos interesantes (los triángulos rectángulos isósceles). Sin un gran esfuerzo de imaginación, también podríamos dividir un cuadrado en 4 cuadrados (pero es una imagen que evitaremos, que me hace acordar a una empresa monopolizadora).

Así obtenemos disecciones de polígonos, que a primera vista, no parecen ninguna genialidad. Sin embargo, algunas ideas interesantes empiezan a surgir. Por ejemplo, dado que tanto el contenedor como los elementos son interesantes, la noción recursiva aflora. Otros conceptos llamativos, como el de teselado regular, temas de empaquetamiento o el problema de Mrs. Perkins's Quilt pueden desprenderse desde este punto.

Nosotros vamos a tomar otro camino al agregar el último ingrediente de esta receta: la disección perfecta, que pide que los elementos sean todos de distinto tamaño. Acá se pone más interesante y mucho menos obvio. Volvamos a nuestro ejemplo de dividir un cuadrado en triángulos rectángulos isósceles, pero esta vez hagamos una disección perfecta. A continuación, la propuesta de Arthur Stone:

El número es el largo del cateto de triángulo. Estamos entrando en un terreno donde ahora las cosas son difíciles de imaginar a primera vista. Uno podría empezar a preguntarse en cuántas formas distintas se pueden hacer estas disecciones, si es que hay mas de una. Y si hubiese, cómo se pueden construir. En un interesante y largo paper de 1999, Skinner II et. al. proponen una analogía con la primera ley de Kirchhoff (si, esa sobre los nodos de los circuitos eléctricos) para ayudar a la construcción de disecciones perfectas de cuadrados. Este método genera disecciones a triángulos rectángulos isósceles que cortan la diagonal principal de cuadrado que los contiene (lo que permite generar disecciones simples, explicadas más adelante). Como en el siguiente ejemplo extraído de la página 33 del paper:

La siguiente pregunta es si existen disecciones perfectas en otras formas interesantes. Por ejemplo, Brooks et. al. demostraron que no es posible dividir un triángulo equilátero en triángulos equiláteros de forma perfecta. En ese mismo trabajo de 1940 se señala que, a diferencia de la perfectibilidad, era posible hacer una disección de equiláteros en equiláteros que fuese simple.

Se dice que una disección es simple cuando ningún subconjunto de 2 o más elementos forma una figura de las informalmente definidas como interesante. Por ejemplo, en el caso de la distribución propuesta por Stone que ya mencionamos, el subconjunto de elementos pintado con verde forma un triángulo rectángulo isósceles:


Por lo que definimos esta disección como compuesta en contraposición a la simple que expone Skinner et. al.

Una disección puede ser simple y no perfecta, o viceversa. Así, y como venía diciendo, Brooks et. al. dicen que es posible dividir un triángulo equilátero en triángulos equiláteros de forma simple, aunque imperfecta. Dicha forma fue presentada por William Tutte, un famoso criptoanalista británico, y es así:


Y como en la vida misma, lo simple y lo perfecto perecen ser cualidades que cuesta ver en conjunto. Pero que, para belleza de la cosas, no es imposible de encontrar. Así es que me gustaría presentarles el cuadrado de menor orden que puede dividirse en cuadrados de forma simple y perfecta, descubierto por Adrianus Johannes Wilhelmus Duijvestijn la noche del 22 de Marzo de 1978:

Esta disección en 21 cuadrados desiguales que no forman subconjuntos de cuadrados es lo que se conoce como la disección de Duijvestijn, y se pueden comprar remeras con su estampa. Si bien Duijvestijn ya había descubierto disecciones perfectas simples del cuadrado de ordenes superiores, había probado, junto a Bouwkamp, que no era posible crear estas disecciones en órdenes menores a 20. De ahí el esfuerzo por encontrar la más pequeña de las posibilidades.

Espero no haberlos aburrido en demasía. Para mí fue muy entretenido y aprendí muchísimo sobre álgebra y geometría, así como formas de representación imaginativas de conceptos geométricos que permiten razonar de forma algorítmica. Si quieren aprender más sobre los temas tratados en esta entrada, pueden consultar la página Squaring.net que está totalmente dedicada a este tipo de puzzles e incluye biografía de las personalidades referentes del área, así como otros temas relacionados. Este post está fuertemente basado en esta web. El artículo de Wolfram MathWorld al respecto también es muy entretenido. Se puede chusmear la página de wikipedia sobre el problema de Squaring the square para una idea más breve de la representación de Smith.