log log binning

Una de las materias que hice el año pasado (estrictamente hablando, aún la estoy haciendo) fue Topología de Internet, con Nacho Alvarez-Hamelin. En ella estudié a Internet como sistema complejo, donde routers y/o ASs se interconectan y forman un grafo.

Una de las propiedades más características de los grafos es su distribución de grados. El grado es la cantidad de vértices que tiene un nodo. En el ejemplo de la izquierda, el nodo 4 tiene grado 3. La distribución de grados es una característica del grafo en su conjunto y no es otra cosa que contar cuántos nodos hay con grado 0, cuántos con grado 1, y así siguiendo. En el caso de la topología de Internet, no hay nodos con grado 0, ya que es una red totalmente conexa (triste sería estar conectado a ese router que no está conectado a nada más).

La topología de Internet (es decir, cómo se interconectan sus componentes) no se conoce a ciencia cierta (tema que quedará para otro post) pero hay algunos acercamientos académicamente aceptados. Uno de ellos es el de CAIDA que provee información sobre como están conectados los distintos sistemas autónomos. Esta data, después de modificar un poco su formato, puede ser analizada con el módulo Complex Systems Toolbox, para Scilab, un clon libre de Matlab.
Resulta ser que, al analizar la distribución de grados de la topología de Internet, uno se encuentra con una distribución de ley potencial (chocolate por la noticias, dirían los hermanos Faloutsos, que ya sabían esto desde 1999).

Esta ley de potencia (en inglés, power law) es una relación en que la frecuencia de un hecho cae de forma exponencial con respecto a la magnitud. Este tipo de distribuciones tiene una forma de panza hacia el eje de coordenadas y abunda en la naturaleza™, desde el crecimiento de los ríos hasta la popularidad de las personas en las redes sociales. Por su forma tan particular, se suele dibujar en ejes logarítmicos, quedando como una recta que se caracteriza por su pendiente (en el dibujo, b), que es el exponente de la curva en ejes lineales.

En estos dibujos, la curva es continua y elegante. Pero cuando uno va al mundo discreto de la modelización de fenómenos, la cosa cambia. Y mucho. Por ejemplo, este es el gráfico de la distribución de grados de la topología de AS, según CAIDA:

Los puntos rojos son las muestras discretas, las uní solo para que se aprecie mejor cuál va delante de cada cuál. Como se ve, la cosa no queda tan prolijita y agradable. Es que hay veces que la naturaleza™ se resiste a ser modelada con una fórmula y la estimación de al pendiente cuando se trata de datos experimentales puede ser complicada, sobre todo en la cola. Así es como llegamos al concepto de binning.

La idea es sencilla. Consiste en dividir el eje x es zócalos (bins) de tamaño fijo. Después tomar todas las muestras que caigan en un bin y promediarlas. Así, se grafica solo este promedio como un único punto que representa a todo el bin. Como estamos trabajando con ejes logarítmicos, el calculo del ancho de los bins requiere cierta aritmética, dado que estos se van ampliando exponencialmente (de forma tal que queden todos del mismo tamaño, o casi, al plotearlos). A esto lo llamamos log log binning.

Por suerte, el Complex Systems Toolbox tiene una función para hacer esta magia. Y aquí está el resultado:

Las muestras son las cruces rojas, mientras que los puntos verdes son los representantes de binning. Puede verse que están casi equidistantes, sobre todo después de 10. Por otro lado ¿no notan nada raro acá? Vamos por partes. En la parte inicial de la curva, ésta aparece por debajo de la línea de las cruces rojas. Esto empieza a tener poco sentido. Se supone que el promedio de un único punto es ese mismo punto.

Más grave aún es lo que ocurre en la cola. Ahí, esporádicos puntos (hay muchos ceros) generan una recta paralela al eje. Cuando uno promedia varios valores el resultado debería ser cada vez menor si la cantidad de ceros aumenta. Sin embargo, aquí la curva se suaviza hasta perder toda su inclinación.

Fue así como decidí mejorar esta funcion de log log binning (si, toda esta introducción para contarles esto... es que evidentemente soy muy pedante). A continuación, el mismo gráfico, resultado de mi propia implementación:

Algunas reimplementaciones por acá, fixeo de bugs por allá y ahora la pendiente se puede ver mucho más clara. Obvio que también podías leerte el paper de los hermanos Faloutsos, donde se explica que b está entre 2.1 y 2.4, pero no hubiese sido igual de divertido. Tuve que leer bastante y entender aritmética que había olvidado. Putié mucho contra scilab/matlab pero terminé descubriéndole cosas interesantes. En general, fue algo bastante entretenido.

La nueva implementación de log log binning ya está en el trunk de Complex Systems Toolbox y seguramente estará disponible en la próxima versión. También incluí novedades para graficar distribución de grados cuando los grafos son dirigidos y algunas otras pequeñeses de formato.

(hot) boxing network

Hace unos días comenté que, por razones de practicidad, metí todos mis aparatos de redes en una caja. Si bien le puse alguna ventilación no forzada, varios amigos y conocidos insistieron en la alta temperatura que podía llegar a alcanzarse dentro del susodicho tupperware. Desde mi punto de vista, no hay (había) nada de que preocuparse.

Pero hablar es gratis, así que decidí ir a los papeles y a las pruebas concretas, para lo que, evidentemente, era necesario un termómetro. Fue así como encontré la excusa para hacerme de uno, tal como se puede ver:


Ahora puedo saber que dentro de la caja la temperatura ronda los 48ºC, aunque tiene picos de 50ºC cuando hace calor en el living. En lo personal, era más o menos lo que calculaba. El sensor lo fijé a la tapa superior, con lo que voy a suponer que es el lugar más caliente de la caja (aunque tal vez lo sea entre los transformadores, no se...).

Con la intensión de ver que tan grave puede ser esto para los equipos en su interior, me puse a recolectar las especificaciones de la parte electrónica (¿debería preocuparme también por las condiciones en la que trabajan los transformadores?). Aquí, la lista de dispositivos con el rango de temperatura operativo y links a las fuentes:

Para mi sorpresa (es que claramente soy un ignorante) 3 de los 4 aparatos tienen temperaturas máximas de operación de 40ºC, ~10ºC menos de lo que se respira por esos lares.

Evidentemente, estimados comentaristas, tenían razón. Es que soy un cabeza dura, ya lo saben. El hecho es que tal vez sí debería preocuparme un poco más por bajar la temperatura de ese cajón si es que quiero que mi pequeña red siga funcionando.

update 16 Jan 2010 12:01:10 -0300: Finalmente le puse un ventilador que expulse aire en la tapa (no solo fue la sugerencia de muchos, también era el único lugar donde cabía). Uno de fuente de PC, brushless.


En el mismo lugar de medición, en el que antes tenía 48ºC ahora tengo entre 37ºC y 38ºC, lo cual es buenísimo. Un amigo me sugirió que mida entre los dispositivos. Ahí la historia cambia: 43ºC (no tengo idea de cual era antes en esta ubicación). Tal vez pueda hacer un sistema de tuberías para hacer correr aire entre ellos.

boxing network

Since I am a housewife (i.e. since I live on my own) my concerns have been extended to foreign horizons, such as taming dust and lint. All my network devices and wires has a particular magnetism for them. To make things worse, the devices cleaning is quiet hard.

So, I decide to boxing them. All you need is a big tupperware and few rubber bands. Here is the process to build it:

boxing process

And this is done:
boxing

La UTN tiene dueño (wtf)

Hernán me pasó un excelente link de Linkedin (redundancia necesaria), la red social orientada a negocios y el mundo profesional, cuya captura reproduzco a continuación:


Mucho se me ha escuchado putear sobre el corporativismo en la universidad en este blog y otros entornos. Pero este fallido es como demasiado :P
El tiempo de estudio es un bonus wtf (y yo que siempre pensé que mis 8 años de carrera habían sido demasiados)...

El borroneo sobre el nombre tiene como fin no darte el dato directamente, una situación parecida a la ocurrida acá. Ya sé que lo podés conseguir, bien por ti.

removing your facebook photo tags automagically

Este post también está escrito en español aquí.

Privacy at Facebook is heavy-duty. As a big fan of the Worlds Collide Theory I hate be tagged compulsively. I would like to select in which photos appear in my profile and feed. Since I couldn't find that option in the setting menu, I looked for the answer in my favorite scripting language: Python.

This 60-lines-long script removes your tag from the latests photos where you has been labelled. You can download it from here. You may run it hourly (or every 15 minutes, or every 5 minutes, depends how paranoid you are) via cron or whatever.

Any improvement is welcome. It probably runs on Windows too. If you managed to do it, leave a comment for the others.

NEW VERSION! (available here).

remover tu etiqueta de las fotos de facebook automágicamente

This post has been written in English too.

La privacidad en Facebook es un asunto complejo. Como gran suscriptor a la Teoría de Colisión de Mundos es que odio ser etiquetado en fotos de forma compulsiva. Me gustaría tener alguna forma de elegir en que fotos aparezco en mi perfil y actualizaciones. Dado que no pude encontrar tal opción entre la configuración, busqué la respuesta en mi lenguaje de scripting favorito: Python.

Este script de 60 lineas remueve tu etiqueta de las últimas fotos donde te hayan tagueado. Puede ser descargado desde aquí. Hay que correrlo cada hora (o cada 15 minutos, o cada 5, dependiendo de que tan paranoico seas) a través de cron o como sea.

Cualquier mejora es bienvenida. Posiblemente también corra en Windows. Si lograste hacer esto, deja un comentario que pueda serle útil a otros.

¡NUEVA VERSIÓN! (disponible aquí).

neue Handy

Es claro que los dioses del hardware me odian. Hace unos días comenté sobre el inconveniente con mi laptop. Alrededor de esa misma fecha, mi teléfono celular se consideró a sí mismo en edad de jubilarse. Y así lo hizo, aunque con relativo pre-aviso. Le llevó algo de dos semanas pasar de "a veces funciona a veces no" a "creo que dejó de prender". Es que estuvo en servicio sus años, ya ni me acuerdo cuantos.

Así fue como mi viejo Nokia 3220 fue reemplazado por un Nokia 3120.

La diferencia es notable:

(efectivamente, lo que tiene en la batería es cinta escoch). ¡Feliz retiro 3220!

sfd @ mdq

Este sábado se celebra en Mar del Plata (tarde pero seguro) el Día de la Libertad del Software, en inglés Software Freedom Day, una celebración internacional cuyo objetivo es promover el uso del Software Libre para el beneficio del público.

El evento es organizado por gulBAC (grupo de usuarios de Software Libre de Buenos Aires central) y tiene un cronograma con temáticas de los más variado.

Así es como esta noche (mañana por la madrugada, para ser estrictos) me voy para MDQ a pasear, desintoxicarme, leer la pila de papers que tengo pendientes y dar una charla sobre seguridad en el susodicho evento, todo gracias al fuerte esfuerzo de los muchachos/as de gulBAC que se vienen portando de mil maravillas

¿Nos vemos alla?

aUSBusing

When your laptop is being repaired (and it's still there, since August 28) you need imaginative ways to be connected.

Here is my Nokia N800 as something near to a desktop computer.

Just few notices:

  • life battery is really short when you plug too many things to the USB interface.
  • usbcontrol rules
  • solder a female-female USB adapter is easy and funny (it came from a broken motherboard)
  • after some weeks using Maemo, ideas about developing applications to it come to my mind
  • the mail client and the browser included with Maemo suck
  • my ocular health is being damaged

llegar para irse

Todavía no termino de llegar (literalmente, que mi mochila se quedó en Madrid un día más que su dueño) y ya tengo el pasaje salir pasado mañana para Bahía Blanca.

El evento es Jornadas del Sur, durante este fin de semana largo. Hablaré sobre seguridad y empaquetado, además de encontrarme con amigos para beber y divertirse :P

¿Nos vemos allá?

UPDATE Fri, 14 Aug 2009: Las fotos ya están disponibles, a excepción de las de Toledo, que están en una cámara desechable porque me olvidé la digital cuando fui.

cáceres->lisbon->madrid

Esta última quincena ha sido de lo más intensa.

DebConf9Lo más destacable, por lejos, fue DebConf9. Esa semana donde las cosas se viven de forma profundamente apasionadas, donde a cada paso hay diversión y amigos. Este año tuvo lugar en Cáceres, una ciudad relativamente pequeña de Extremadura. Me dediqué, mayormente, a escuchar charlas, intentar revivir paquetes que tenía algo olvidados, y hacer mucho trabajo de security. Incluso siendo impresionantemente productivo, mi ToDoList, lejos de reducirse durante esa semana, aumentó paradógicamente su tamaño en varias veces. Trabajo y diversión en envase familiar.

Mi idea no era volverme directamente a casa de DebConf9. Por un lado, estar de este lado del charco implica un esfuerzo demasiado grande que requiere ser amortizado. Por otro, conservo la esperanza que la depresión-post-debconf pegue menos si antes de volver doy una vuelta por ahí. El hecho es que, sin un plan, coordine mi pasaje de regreso sumando dos semanas a la finalización de DebConf9. Así fue como terminé en Lisboa, gracias a José que me llevó en su auto y empujado por la promesa de un país más barato que el español.

LisboaEn Lisboa pasé unos 4 días, muy lindos por cierto. Es una ciudad atípica, llena de particularidades, con gente agradable y más extranjeros que locales. Posiblemente el álbum de fotos pueda contar más detalles.

De ahí y en tren, partí a Madrid, donde estoy viviendo la última semana de este viaje. Siempre estoy de paso en Madrid, lo que es injusto, ya que nunca me hice el tiempo para visitarla como un turista más. Con el tiempo he criado algunas amistadas acá, por lo que también ocuparé estos días en ponerme al día y beber cerveza.

Mañana (en algunas horas, para ser estricto) tengo pensado ir a Toledo, así que va llegando el momento de hibernar mi laptop e irme a dormir.

at debconf9

Después de dos excelentes días en Madrid, tratando de recuperarme de un viaje demasiado largo, embarcamos en un bus con rumbo a Cáceres, junto con Santiago.

Ahora estoy escribiendo esto desde el hacklab 1 de DebConf9, con esa hermosa senciación de haberme encontrado con mucha gente y de estar listo para vivir esos inolvidables días al año :)

Mañana, junto con Enrico y Steve, estaremos dando una charla en el OpenDay, la cual aún no empezado a preparar, así que será una noche divertida. Posiblemente vaya a estar disponible el streaming de videos, pero aún no se en qué URL.

En breve, fotos.

UPDATE 05 Aug: Lo prometido, las fotos.

not yours

If I say "I got the third place in a scholarship application", it doesn't look bad.

But there is money only for the first two persons. Sometimes, close is not enough. So, without money, I won't be able to study in Europe... damn...

Maybe next year... maybe not.

Note: The application was, as you can see, for a doctoral scholarship in Spain... my broken English has no effect here...

interview ( ) { ego++; }

(Sé que estoy escribiendo poco, y sé que con cuestionable calidad. Esta entrada no será la excepción)

Circo Linux, un simpático blog/e-zine, me ha realizado una extensa entrevista que puede leerse aquí. Los temas que tratamos han sido de lo más variado, desde Debian hasta mi afición al go. Fue una charla amena.

Tengo varias ideas en la cabeza que merecen ser posteadas, pero poco tiempo para plasmarlas. Trataré de cambiar dicha situación en el corto plazo y levantar este blog a lo que solía ser: un lugar divertido donde perder el tiempo.

conectando facebook con wordpress

Dado que mi status de Facebook degeneró en microblogging, instalé (y modifiqué levemente) este plugin de Brian Goad.

Mi versión modificada puede bajarse de aquí y permite folding y publicar el RSS del status para sindicar. Esta última opción hace pública tu key. Siendo que es obvio que tu status es público y que no podes usarlo para cosas sensibles.. ¿a alguien se le ocurre las consecuencias que esto conlleva?

nothing to hide

The next week I'm going to Berlin (and some days to Frankfurt). I'll be in the 25th Chaos Communication Congress (25C3).

I'll be out of home from 24th Dec until 7th Jan. It'll be a non-traditional holidays, be far away from family. But, in the other hand, it gonna be awesome be and talk in a CCC and spend a Christmas Eve in a plane and a New Year's Eve in Brandenburg Gate with friends.

See you there?

La ley de Benford y la vida real (tm)

Lo prometido. Hoy me gustaría hablarles algo que no tenía idea que existía y que me encontré en el apéndice 9 del libro La Proporción Áurea de Mario Livio. Es de esos sorprendentes conceptos que destruyen la intuición. Por un lado es simple desde lo formal, pero esconde algo casi mágico. Dicho concepto es: La ley de Benford

Para los que no hicieron click en el link anterior y dado que la entrada en la Wikipedia en español sobre el tema deja bastante que desear (estoy corrigiéndola), acá está mi breve explicación:

La ley de Benford, también conocida como la ley del primer dígito, dice que, en los números que existen en la vida realTM, la primer cifra tiene muchas más posibilidades de ser 1 que otro valor. Además, según crece este primer dígito, más improbable es que se encuentre en la primera posición.

A por un ejemplo, que seguro es más fácil. Tomemos una tabla con estadísticas cualquiera, como ser el área o población de las provincias argentinas, la capacidad de los estadios del mundo, los muertos por accidentes de tránsito o las estadísticas de visitas en tu blog. Como todo en estadística, mientras más grande la muestra mejor, así que vayan a por tablas realmente grandes.

Intuitivamente, uno podría pensar que, para cualquier número, las posibilidades que empiece con 1 son las mismas que con 9. Es decir, al agarrar una pelota de números cualquiera de la vida realTM se podría llegar a creer que, si la cantidad es lo suficientemente grande, más o menos 1/9 de la muestra empezarán con 1 (nótese que no tiene sentido que los valores empiezen en 0, por lo que las opciones son 9). Esto es porque creemos que los números que estamos analizando se comportan como si fuesen aleatorios. Si tiramos una moneda al aire una gran cantidad de veces, cerca de la mitad de las oportunidades será seca. Es algo que aprendimos hace mucho y nos parece intutivo que la naturaleza se comporte así. Como si $deity hubiese tirado un dado gigante para decidir el largo de un río, la población de un país o el precio de las acciones en el MERVAL.

Como en mi disco todavía tengo los datos utlizados para el post la chica bajo la curva (dating pool) voy a utilizar la cantidad de casados, por provincia, por edad (puede descargarse desde acá). En mi caso son 30843 regitros. Esta linea de bash cuenta cuantos de los valores empienzan con cada cifra:

$ for i in $(cat provincia_indec.csv | grep años | cut -d ';' -f 4); do echo ${i:0:1}; done | sort | uniq -c
10350 1
5581 2
3550 3
2744 4
2159 5
1903 6
1815 7
1406 8
1335 9

Puede verse que el 33.56% de las cifras empiezan con 1 y que, mientras mayor es el valor del primer dígito, menor es la cantidad de ocurrencias.

En efecto, nuestro nuevo amigo Benford describe este fenómeno y nos dice que, la probabilidad p de que el dígito d aparezca en el primer lugar está dado por la siguiente fórmula:

En el ejemplo anterior, el dígito 1 se encuentra en 10350/30843=0.336 de los casos. Puede verse que la predicción de la fórmula es bastante buena, ya que log10(1+1)=0.301. En la siguiente figura puede verse como se ajusta la fórmula a los datos de la práctica (primer dígito de la cantidad de personas casadas por provincia, por edad según el censo 2001):

De hecho, la misma fórmula puede aplicarse a más de un dígito. Por ejemplo, la probabilidad de que una cifra empiece con 42 (primer dígito 4, segundo 2) es log10(1+1/42)=0.010219. Modificando levemente el script (${i:0:2}) podemos estudiar la cantidad de cifras por la repetición de sus primeros dos números y compararlos con su valor teórico:

Impresionante.. no?

¿Y porqué pasa esto? Ocurre que a las magnitudes del mundo realTM están distribuidas de forma logarítmica.

Recordemos la fórmula: p(d)=log10(1+1/d)=log10(d + 1) − log10(d)
Es decir, cuenta cuántos números hay entre d y d+1 dentro de la escala logarítmica.

La mejor explicación que recibí para este fenómeno habla de un cambio de escala. Supongamos por un momento que la distribución de los primeros dígitos de lo largo de los ríos, lo alto de las montañas, lo profundo de los posos es constante. Ahora imaginemos que $deity se levanta una mañana y duplica el tamaño del planeta (o del universo, ustedes elijen). Las medidas que empezaban por 1 hora pasan a empezar por 2 o 3 (160*2=320). Lo que empezaba por 2 ahora lo hace por 4 o por 5 (290*2=580). El 3 se va a 6 o 7 (384*2=768). El 4 a 8 y 9.

¡Pero todos aquellas medidas que empezaban por 5, 6, 7, 8 y 9 ahora empiezan por 1! Si realizamos esta operación varias veces los valores se amontonan rápidamente en los iniciados por 1, generando la escala logarítmica en cuestión. Y acá está el tema. La mayoría de los valores de la vida realTM son resultados de multiplicaciones.

El siguiente gráfico invita a comparar las superficies rojas (valores que inician con 1) y azules (valores que inician con 8) para estudiar sus probabilidades de ocurrencia en el primer dígito:

Las distribuciones que cubren muchos órdenes de magnitud (que varían mucho entre número y número) cumplen relativamente bien con la ley de Benford. Sin embargo puede no ocurrir así siempre:

Nótese que la clave está en las grandes magnitudes (recuerden la explicación del universo que se duplica). Existen tablas de números de la vida realTM que no cumplen la ley dada que estan acotadas en cuento a su rango, por ejemplo los datos del cierre del MERVAL de los últimos 3 años. Si bien son números grandes, su máximo y mínimo es acotado. Imagino (no tengo uno a mano) que los precios unitarios de los productos en un ticket de supermercado tampoco se agustan a la ley por razones parecidas. La tabla de goleadores de un torneo de fútbol padece el mismo trauma. ¿Se les ocurre algún otro ejemplo excepcional a la regla?

Espero hayan aprendido algo nuevo y ahora quieran a la matemática un poquito más :)

PD: Me olvidaba. Tarea para el hogar: Demostrar que la vida realTM incluye a Fibonacci ;)

φbonacci

Mi conjunto de números favoritos son los enteros en general y los naturales en particular. Son los primeros números que aprendemos en la vida, sencillos, de apariencia intuitiva pero con poderosas propiedades. Dado que mi amateur aproximación a la matemática se dio por el camino de la teoría de números, fueron mi primer gran amor matemático.


Sin embargo, no es difícil encontrar fascinante a otros conjuntos de números. Muchas de estos patean el tablero de formas agradables, como los complejos, que se escaparon de la recta real para irse de vacaciones al plano. Entre los más impetuosos contra la intuición están, obviamente, los irracionales. Y a uno de ellos va dedicado este post.

Hace un par de meses divagué con π. Este semana terminé de leer el libro La Proporción Áurea de Mario Livio. Este libro, que evidentemente trata sobre la constante φ (phi), lo compré en Madrid, atraído por la promesa de desasnarme con respecto a la historia de este número.

Primero me gustaría hablarles sobre el libro como tal, el cual resultó sumamente entretenido, aunque tal vez le sobren unas 50 o 100 páginas. Es un paseo por la historia del arte plástico, arquitectónico, escultural y matemático con φ como eje central hilador. Además de dar ejemplos de como se expresan los números en la naturaleza, explica con profundo detalle ciertas propiedades matemáticas en sus numerosos apéndices e invita al lector a pensar sobre porque la matemática encaja también como explicación del universo. Por momentos se va por las ramas pero casi siempre de forma afable y atrapante. Son altamente rescatables los pasajes donde el autor trata con ácida ironía los esfuerzos de los numerólogos de meter a φ lugares arbitrarios cualquiera, como en las dimensiones de Panteón. En mi opinión es un libro altamente recomendable para el aficionado a la matemática y mi calificación (hace mucho que no califico libros con estrellas) es .

En segundo lugar quisiera comentar algunas nerdeadas matemáticas inspiradas en el la lectura de este libro. Empezando por lo principio, presentar a quienes no conozcan el número φ, en las palabras de Euclides:

Se dice que una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor

La frase dividida en el extremo y su proporcional hace referencia a la proporción de la que estamos hablando. La definición para mortales es:

La longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al segmento más corto b

El valor en cuestión se puede calcular despejando algebraicamente tomando b=1, y es:

Puede verse que, al igual que π(pi), es un número irracional. Pero, a diferencia de π, es un número algebraico, lo que lo emparenta bastante con teoría de números. Sin embargo, su expresión como fracción continua compuesta de solo 1s (unos), hace que converja muy lentamente, convirtiéndolo en el más irracional entre todos los irracionales. En términos llanos, φ puede expresarse como la siguiente fracción continua:

Nótese que, cada iteración de esta fracción continua puede expresarse como (los primeros 15 valores, esta secuencia fue resultado de este script):

2 / 1 = 2
3 / 2 = 1.5
5 / 3 = 1.666666666666666666666666667
8 / 5 = 1.600000000000000000000000000
13 / 8 = 1.625
21 / 13 = 1.615384615384615384615384615
34 / 21 = 1.619047619047619047619047619
55 / 34 = 1.617647058823529411764705882
89 / 55 = 1.618181818181818181818181818
144 / 89 = 1.617977528089887640449438202
233 / 144 = 1.618055555555555555555555556
377 / 233 = 1.618025751072961373390557940
610 / 377 = 1.618037135278514588859416446
987 / 610 = 1.618032786885245901639344262

Aquel lector atento notará que las fracciones tiene cierto patrón. Por un lado, el numerador de cada reglón pasa a ser el denominador en el siguiente. Los números son:
1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,....
¡Exacto! ¡Es la sucesión de Fibonacci! Cada número es la suma de los dos anteriores. En efecto, siendo F(n) el termino n-ésimo de la serie de Fibonacci:

Así es como puede verse una fuerte relación entre φ y Fibonacci. Y si con Fibonacci se puede calcular la proporción áurea... ¿cómo es la relación a la inversa?

Con esta formula se puede calcular el valor del término n-ésimo de la serie de Fibonacci:

Es fácil reconocer que dentro de esa fórmula está φ.

La propoción áurea φ tiene un montón de raras y divertidas propiedades. Entre las más atractivas se encuentran:


En lo personal aprendí muchas cosas nuevas sobre la proporción áurea. Pero en el apéndice 9 (como dije, es un libro con muchos apéndices) se comenta un concepto que me voló la cabeza: la ley de Benford. El tema se toca tangencialmente, promediando el último capítulo, como un ejemplo de como las matemáticas sorprenden. Y sí que lo hacen.

Pero ese será tema del siguiente post.